¿Cuál es el significado y la diferencia entre incertidumbre y errores (tolerancia)?

Incertidumbre y errores

Al medir magnitudes físicas como la longitud, el peso o el tiempo, pueden ocurrir errores durante el proceso de medición, lo que afecta los resultados. Estos errores se denominan errores. Los errores pueden deberse a diversos factores, como herramientas de medición defectuosas, errores humanos al leer las mediciones o problemas con el sistema de medición. Por ejemplo, si un termómetro no funciona correctamente y muestra una temperatura incorrecta, cada lectura que se tome con él tendrá una desviación de cierta cantidad. Esto genera incertidumbre en nuestras mediciones, ya que no coinciden con el valor real. Cuando no estamos seguros del valor real de una medición, consideramos un rango de valores posibles, conocido como rango de incertidumbre. Comprender la incertidumbre y los errores es crucial, ya que nos ayuda a tomar decisiones más informadas basadas en la información disponible.

La diferencia entre incertidumbre y error.

Tanto los errores como las incertidumbres son conceptos importantes en la medición, pero tienen significados distintos. Un error es la diferencia numérica entre el valor real y el valor medido. Por otro lado, la incertidumbre es una estimación del rango dentro del cual es probable que se encuentre el valor real, basándose en la fiabilidad de la medición.

Consideremos un ejemplo de medición de resistencia. Supongamos que el valor aceptado para la resistencia de un material es de 3.4 ohmios. Al medirlo dos veces y obtener valores de 3.35 y 3.41 ohmios, las diferencias entre estos valores medidos y el valor aceptado son errores. El rango entre los dos valores medidos, que es de 0.06 ohmios (3.41 – 3.35), representa el rango de incertidumbre.

Otro ejemplo es la medición de la constante gravitacional en un laboratorio. El estándar aceptado para la aceleración gravitacional es de 9.81 m/s². En un experimento con un péndulo, se obtienen valores como 9.76 m/s², 9.6 m/s², 9.89 m/s² y 9.9 m/s². Estas variaciones respecto al valor aceptado son errores. El valor medio de estas mediciones es de 9.78 m/s², y el rango de incertidumbre oscila entre 9.6 m/s² y 9.9 m/s². La incertidumbre absoluta es aproximadamente la mitad de este rango, calculada como (9.9 – 9.6) / 2 = 0.15 m/s².
Comprender los errores y las incertidumbres nos ayuda a evaluar la fiabilidad de nuestras mediciones y a determinar el rango de valores posibles para la cantidad real. Este conocimiento es esencial para tomar decisiones bien fundamentadas basadas en los datos recopilados.

¿Cuál es el error estándar en la media?

El error estándar de la media es un valor que indica cuánto se desvían las mediciones del valor medio. Para calcularlo, siga estos pasos:

1. Calcular la media: Encuentre la media de todas las medidas.
2. Restar y elevar al cuadrado:Reste la media de cada valor medido y eleve al cuadrado los resultados.
3. Sumar los valores: Suma todos los valores restados.
4. Dividir por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: Divida la suma por la raíz cuadrada del número total de mediciones tomadas.

Por ejemplo, imagina que pesas un objeto cuatro veces. Se sabe que el objeto pesa exactamente 3.0 kg con una precisión inferior a un gramo. Tus cuatro medidas son 3.001 kg, 2.997 kg, 3.003 kg y 3.002 kg.

Primero, calculamos la media: (3.001 kg + 2.997 kg + 3.003 kg + 3.002 kg) / 4 = 3.00075 kg. Como nuestras medidas solo tienen tres cifras significativas después del punto decimal, tomamos el valor como 3.000 kg.
• Luego, resta la media de cada medición y eleva al cuadrado el resultado:
(3.001 kg – 3.000 kg)² = 0.000001 kg²
(2.997 kg – 3.000 kg)² = 0.000009 kg²
(3.003 kg – 3.000 kg)² = 0.000009 kg²
(3.002 kg – 3.000 kg)² = 0.000004 kg²
Considerando sólo tres cifras significativas después del punto decimal, podemos aproximar el primer valor como 0.
• A continuación, suma todas las diferencias al cuadrado: 0 + 0.000009 kg² + 0.000009 kg² + 0.000004 kg² = 0.000022 kg²
• Finalmente, dividir por la raíz cuadrada del número de muestras (√4 = 2): √(0.000022 kg² / 4) = 0.002 kg

En este caso, el error estándar de la media (σx) es muy pequeño, lo que indica que nuestras mediciones están cerca del valor real del peso del objeto.

¿Qué son la calibración y la tolerancia?

La tolerancia se refiere al rango entre los valores máximo y mínimo permitidos para una medición. La calibración, por otro lado, es el proceso de ajustar un instrumento de medición para garantizar que todas sus mediciones se encuentren dentro del rango de tolerancia. Para calibrar un instrumento, sus resultados se comparan con los de instrumentos más precisos y exactos o con un objeto de referencia de alta precisión conocida.

Un ejemplo es la calibración de una báscula.

La calibración no es una tarea que se realiza una sola vez. Las básculas deben recalibrarse periódicamente para mantener su precisión. Factores ambientales como la temperatura, la humedad y la presión atmosférica pueden afectar las lecturas de una báscula. Por ejemplo, los cambios de temperatura pueden provocar que los componentes metálicos de una báscula se expandan o contraigan, lo que resulta en mediciones inexactas. Por lo tanto, es importante tener en cuenta estos factores ambientales durante la calibración.

Además, al calibrar una báscula, es fundamental utilizar pesas adecuadas. Usar pesas demasiado pesadas o demasiado ligeras puede distorsionar el proceso de calibración y afectar la precisión de la báscula. En general, calibrar una báscula es fundamental para obtener mediciones precisas y fiables. Seguir los procedimientos de calibración adecuados y recalibrarlas periódicamente es esencial para mantener la precisión de la báscula.

¿Cómo se informa la incertidumbre?

Al presentar los resultados de las mediciones, es importante informar la incertidumbre asociada. Esto ayuda a comprender la posible variación en la medición y el nivel de confianza en el valor reportado.

Por ejemplo, si medimos un valor de resistencia de 4.5 ohmios con una incertidumbre de 0.1 ohmios, lo reportamos como 4.5 ± 0.1 ohmios. Esto indica que estamos seguros de que el valor real de la resistencia se encuentra en el rango de 4.4 a 4.6 ohmios.

Los valores de incertidumbre son relevantes en muchos campos, como la fabricación, el diseño, la arquitectura, la mecánica y la medicina. Desempeñan un papel crucial en la precisión de la medición y el informe de resultados. Al informar los valores de incertidumbre, podemos minimizar los errores y mejorar la calidad de nuestras mediciones, lo cual es esencial en la investigación científica, la ingeniería y la atención médica.

¿Qué son los errores absolutos y relativos?

Los errores de medición pueden clasificarse como absolutos o relativos. Los errores absolutos describen la diferencia entre el valor medido y el valor esperado. Los errores relativos, por otro lado, miden la importancia de esta diferencia con respecto al valor real.

Error absoluto

Para calcular el error absoluto, utilice la fórmula: Error absoluto = valor medido – valor esperado. Por ejemplo, si el valor esperado es 1.4 m/s y el valor medido es 1.42 m/s, el error absoluto es 1.42 m/s – 1.4 m/s = 0.02 m/s.

Es importante tener en cuenta que el error absoluto puede ser positivo o negativo. Un error absoluto positivo significa que el valor medido es mayor que el valor esperado, mientras que un error absoluto negativo significa que el valor medido es menor. En este caso, dado que el error absoluto es positivo, el valor medido es ligeramente mayor que el valor esperado.

Aunque el error absoluto es útil para evaluar la precisión de una sola medición, no proporciona información sobre su precisión. Para evaluar la precisión, es necesario observar el rango de valores obtenidos a partir de múltiples mediciones de la misma magnitud.

Error relativo

El error relativo es una medida de la diferencia entre el valor medido y el valor esperado, expresada como porcentaje del valor esperado. Es especialmente útil para comparar errores en valores de diferentes magnitudes, ya que considera la escala de los valores medidos.

La fórmula para el error relativo es: Error relativo = (error absoluto / valor esperado) x 100%. Usando el ejemplo anterior donde el error absoluto era 0.02 m/s y el valor esperado era 1.4 m/s, el error relativo es (0.02 m/s / 1.4 m/s) x 100% ≈ 1.43%.

Como podemos observar, el error relativo es menor que el absoluto porque considera la magnitud de los valores. En este caso, la diferencia entre el valor medido y el esperado es de tan solo el 1.43 % del valor esperado.

Otro ejemplo que ilustra la diferencia de escala es un error en una imagen satelital. Si un error en una imagen satelital es de 10 metros, parece grande considerando distancias a escala humana. Sin embargo, si la imagen mide 10 kilómetros por 10 kilómetros, un error de 10 metros es relativamente pequeño, ya que representa solo el 0.1 % del área total (ya que 10 km = 10000 10 m, y 10000 / (10000 100 × 0.0001 XNUMX) × XNUMX % = XNUMX % en términos de proporción de área). Informar el error relativo como porcentaje ayuda a los lectores a comprender mejor su importancia en relación con el valor esperado.

Trazar incertidumbres y errores

Las incertidumbres suelen representarse como barras en gráficos y diagramas. Estas barras se extienden desde el valor medido hasta los valores máximo y mínimo posibles. El rango entre los valores máximo y mínimo constituye el rango de incertidumbre. Véase el siguiente ejemplo de barras de incertidumbre:

Por ejemplo, considere un experimento en el que mide la velocidad de una pelota que recorre una distancia de 10 metros. La velocidad de la pelota disminuye a medida que se mueve. Marca divisiones de 1 metro y usa un cronómetro para medir el tiempo que tarda la pelota en moverse entre cada división. Debido al retraso en su reacción al iniciar y detener el cronómetro, existe una incertidumbre de 0.2 m/s. Suponga que obtiene valores de velocidad de 1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s y 1.01 m/s. Las mediciones, incluyendo la incertidumbre, se informan como 1.4 ± 0.2 m/s, 1.22 ± 0.2 m/s, 1.15 ± 0.2 m/s y 1.01 ± 0.2 m/s. La gráfica de los resultados se puede informar de la siguiente manera:

 

En un gráfico, los puntos representan los valores medidos reales (1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s y 1.01 m/s), y las barras que se extienden desde cada punto representan la incertidumbre de ±0.2 m/s. Esta representación visual ayuda a comprender rápidamente el rango en el que podría encontrarse el valor real de cada medición.

¿Cómo se propagan las incertidumbres y los errores?

Al realizar cálculos con valores con incertidumbres y errores, es fundamental tener en cuenta estas incertidumbres, ya que pueden afectar la precisión del resultado final. Este proceso se conoce como propagación de la incertidumbre o propagación del error y puede provocar una desviación de los datos reales, también llamada desviación de datos.

Existen dos enfoques comunes para la propagación de la incertidumbre: el error porcentual y el error absoluto. En el enfoque del error porcentual, calculamos el error relativo de cada medición y los sumamos para determinar la propagación general del error porcentual. En el enfoque del error absoluto, sumamos los errores absolutos de cada medición para obtener la propagación general del error absoluto.

Por ejemplo, si medimos la aceleración gravitacional como 9.91 m/s² con una incertidumbre de ±0.1 m/s² y la masa de un objeto como 2 ± 0.001 kg, el error relativo para la aceleración gravitacional es (0.1 / 9.91)×100% ≈ 1% y el error relativo para la masa es (0.001 / 2)×100% = 0.05%. Para hallar el porcentaje de propagación del error general, sumamos estos errores relativos.

Para calcular la propagación de la incertidumbre en el resultado de un cálculo, es necesario calcular el valor esperado incluyendo las incertidumbres. Por ejemplo, al calcular la fuerza producida por la caída de un objeto mediante la fórmula F = m * g (donde m es la masa y g es la aceleración gravitacional), calculamos la fuerza utilizando los valores medidos junto con sus incertidumbres. El resultado se expresa entonces como «valor esperado ± valor de incertidumbre».

Informar sobre las incertidumbres y errores en nuestros resultados es crucial para que otros puedan evaluar la precisión y confiabilidad de nuestras mediciones y cálculos.

Informar incertidumbres

Para reportar un resultado de medición con incertidumbre, escribimos el valor calculado seguido de la incertidumbre. También podemos encerrar la cantidad entre paréntesis para mayor claridad. Por ejemplo, si medimos una fuerza y ​​encontramos que esta tiene una incertidumbre de 0.21 Newtons y nuestro valor medido es 19.62 Newtons, lo reportamos como 19.62 ± 0.21 Newtons o (19.62 ± 0.21) N.

Propagación de incertidumbres

Al propagar incertidumbres en los cálculos, existen reglas específicas para diferentes operaciones aritméticas:

Suma y resta: Al sumar o restar valores, la incertidumbre total es la suma de las incertidumbres individuales. Por ejemplo, si tenemos dos mediciones (A ± a) y (B ± b) y las sumamos, el resultado es (A + B) ± (a + b). Supongamos que sumamos dos piezas de metal con longitudes de 1.3 m y 1.2 m, con incertidumbres de ±0.05 m y ±0.01 m, respectivamente. La longitud total es 1.3 + 1.2 = 1.5 m, y la incertidumbre total es ±(0.05 m + 0.01 m) = ±0.06 m.

• Multiplicación por un número exacto: Al multiplicar un valor por un número exacto, la incertidumbre total se calcula multiplicando la incertidumbre por ese número exacto. Por ejemplo, si calculamos el área de un círculo con radio r = 1 ± 0.1 m, y la fórmula para el área de un círculo es A = πr², la incertidumbre del área es 2πr×0.1. Sustituyendo r = 1 m, obtenemos 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283 m² (valor aproximado de incertidumbre).

División por un número exacto: Al dividir un valor por un número exacto, la incertidumbre total se calcula dividiendo la incertidumbre por ese valor exacto. Por ejemplo, si tenemos una longitud de 1.2 m con una incertidumbre de ±0.03 m y la dividimos entre 5, la incertidumbre del resultado es ±0.03 / 5 = ±0.006 m.

Desviación de datos

Al realizar cálculos con valores con incertidumbre, los datos resultantes se desviarán de los datos reales. Podemos calcular esta desviación utilizando la desviación de los datos (representada por el símbolo «δ»). El cálculo de la desviación de los datos depende del tipo de operación realizada con los valores.

Desviación de los datos tras la suma o resta: Para calcular la desviación de los datos del resultado, utilizamos la fórmula δ = √(a² + b²), donde a y b son las incertidumbres de los valores que se suman o restan. Por ejemplo, si restamos dos valores, A = 10 ± 0.2 y B = 8 ± 0.3, el resultado es C = A – B = 2 ± 0.4. La desviación de los datos de C es δ = √(0.2² + 0.3²) = √(0.04 + 0.09) = 0.36.

Desviación de datos tras la multiplicación o división: Para la multiplicación o división de varias mediciones, utilizamos la razón incertidumbre-valor real. Si tenemos dos valores A ± a y B ± b, y los multiplicamos, el resultado es C = A * B ± (A*B) * √((a/A)² + (b/B)²). Si hay más de dos valores, añadimos más términos a la ecuación.

Desviación de los datos si se utilizan exponentes: Si un valor tiene un exponente, lo multiplicamos por la incertidumbre y luego aplicamos la fórmula de multiplicación y división. Por ejemplo, si y = (A ± a)² * (B ± b)³, la desviación de los datos es δ = √((2Aa)² + (3Bb)²). Si hay más de dos valores, se añaden términos adicionales a la ecuación.

El cálculo de la desviación de datos nos ayuda a evaluar el impacto de las incertidumbres en nuestros resultados y a determinar la precisión y confiabilidad de nuestras mediciones y cálculos.

En el proceso de gestión de errores e incertidumbres, el redondeo de números suele ser un paso esencial para que los valores sean más manejables. Esto es especialmente cierto cuando se trata de incertidumbres minúsculas o extremadamente grandes que tienen un impacto insignificante en los resultados generales. El redondeo puede implicar aumentar el valor (redondeo al alza) o disminuirlo (redondeo a la baja).

Por ejemplo, al medir la constante gravitacional en la Tierra, el valor medido podría ser de 9.81 m/s² con una incertidumbre de ±0.10003 m/s². En este caso, la parte del valor de incertidumbre después del primer decimal, 0.0003, es minúscula en comparación con la incertidumbre total de 0.1. Por lo tanto, es razonable descartar los dígitos después del primer decimal y redondear la incertidumbre a ±0.1 m/s², ya que esta simplificación no afectará significativamente la integridad de la medición.

Sin embargo, es fundamental tener en cuenta que el redondeo en sí mismo puede introducir errores adicionales, especialmente cuando el número de cifras significativas es muy bajo. Por lo tanto, antes de decidir redondear o truncar valores, es crucial evaluar cuidadosamente el nivel de precisión requerido para las mediciones y los cálculos en cuestión.

Redondeo de números enteros y decimales

El proceso de redondeo de números requiere determinar qué valores son significativos, teniendo en cuenta tanto la magnitud de los datos como el nivel de precisión deseado para las mediciones y los cálculos. Al redondear, existen dos enfoques principales: redondeo al alza y redondeo a la baja. La elección entre estos dos enfoques depende del dígito inmediatamente posterior al dígito significativo de menor orden.

Al redondear hacia arriba, eliminamos los dígitos menos significativos. Por ejemplo, 3.25 se puede redondear a 3.3. Por el contrario, al redondear hacia abajo, también descartamos los dígitos menos significativos. Por ejemplo, 76.24 se puede redondear a 76.2.
Como regla general, si un número termina con un dígito entre 1 y 4, se redondea hacia abajo. Si el dígito final está entre 5 y 9, se redondea hacia arriba. En particular, cuando el dígito es 5, se suele redondear hacia arriba. Por ejemplo, tanto 3.15 como 3.16 se redondean a 3.2, mientras que 3.14 se redondea a 3.1 hacia abajo.

Al plantearnos un problema, a menudo podemos inferir el número necesario de decimales (o cifras significativas) a partir de los datos. Por ejemplo, si se presenta un gráfico o un conjunto de datos con números con solo dos decimales, es razonable esperar que nuestras respuestas también tengan dos decimales. Prestar mucha atención al nivel de precisión requerido es clave para determinar el número adecuado de decimales o cifras significativas.

Cantidades redondas con incertidumbres y errores.

Al trabajar con mediciones con errores e incertidumbres, los valores con mayores errores e incertidumbres desempeñan un papel fundamental en la determinación de los valores generales de incertidumbre y error. Al responder preguntas que especifican un número determinado de decimales o cifras significativas, se requiere un enfoque específico.

Por ejemplo, considere dos valores: (9.3 ± 0.4) y (10.2 ± 0.14). Al sumar estos valores, también debemos sumar sus incertidumbres. La incertidumbre total se calcula como la suma de los valores absolutos de cada incertidumbre, que en este caso es ±(0.4 + 0.14) = ±0.54. Redondeando 0.54 a la décima más cercana, obtenemos 0.5. Por lo tanto, el resultado de sumar los dos números con sus incertidumbres y redondearlos es 19.5 ± 0.5.

Si se nos pide multiplicar dos valores con incertidumbres y necesitamos calcular el error total propagado, podemos calcular el error porcentual de cada valor y luego sumarlos para obtener el error total. Por ejemplo, si A = 3.4 ± 0.01 y B = 5.6 ± 0.1, los errores porcentuales de A y B se calculan como (0.01 / 3.4) × 100 % ≈ 0.29 % y (0.1 / 5.6) × 100 % ≈ 1.78 %, respectivamente. El error total es la suma de estos errores porcentuales, que es aproximadamente del 2.07 %. Si necesitamos aproximar la respuesta a un decimal, podemos simplemente tomar el primer dígito decimal o redondear el número según las reglas de redondeo estándar.

En resumen, las incertidumbres y los errores introducen variabilidad en las mediciones y sus cálculos asociados. Informar sobre las incertidumbres es crucial, ya que permite a los usuarios comprender el rango potencial de variación de los valores medidos. Los errores y las incertidumbres se propagan durante los cálculos con datos con tales imperfecciones, y es esencial considerar el error de los datos con mayor error o incertidumbre. Calcular cómo se propagan los errores es valioso, ya que nos permite evaluar la fiabilidad de nuestros resultados.